La France, championne des maths (3/3) : Que cherchent les mathématiciens ?

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Par l'invention de concepts très abstraits, l'objet des mathématiques consiste à résoudre des problèmes souvent très éloignés de la réalité. Mais ces concepts se révèlent puissants et trouvent de nombreuses applications en physique, en biologie et dans les domaines les plus variés, de la finance à la modélisation informatique ou au traitement des images numériques.

 

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Les mathématiques sont omniprésentes dans le monde d'aujourd'hui. Leurs outils sont utilisés pour gérer les flux de messages sur Internet et la sécurité des transactions commerciales électroniques, pour modéliser les échanges économiques, pour créer des produits financiers, pour optimiser les lignes aériennes ou les réseaux de transport d'énergie, pour élaborer des modèles climatiques ou établir des prévisions météorologiques, pour décrire l'équilibre d'un système écologique ou l'évolution d'une population animale… Il n'existe quasiment pas un aspect de notre vie quotidienne qui ne dépende pas d'une ou plusieurs applications des mathématiques. Pourtant, les recherches des mathématiciens professionnels au plus haut niveau semblent très détachées des préoccupations concrètes.

Manuscrit d'Euclide © DR Manuscrit d'Euclide © DR

Que cherchent les mathématiciens ? Ils ont le chic pour s'intéresser à des questions que personne – en dehors du monde mathématique – n'aurait l'idée de poser. Qui, dans la vie normale, se demande comment se répartissent les nombres premiers ou si la conjecture de Goldbach est vraie ? Qui veut savoir si le sixième problème de Hilbert peut être résolu ? Qui se préoccupe du nombre de solutions des équations de Navier-Stokes ou du degré d'avancement du programme de Langlands ?

Ce sont pourtant là certains des sujets au menu du prochain Congrès international des mathématiciens (ICM) qui s'ouvrira le 13 août à Séoul, et à l'occasion duquel seront décernées les médailles Fields, la plus haute distinction en mathématiques. On serait tenté d'en déduire que les mathématiciens sont une réunion de snobs qui se complaisent à explorer des arcanes inaccessibles au commun des mortels. Ce serait une conclusion hâtive. Il y a plusieurs types de mathématiciens : certains s'attachent à des problèmes très abstraits, qu'il est quasiment impossible de traduire en langage ordinaire. D'autres cherchent des réponses mathématiques à des questions pratiques (ce qui peut nécessiter le recours à des concepts très abstraits).

David Hilbert © DR David Hilbert © DR

Benoît Perthame, l'un des conférenciers français attendus à Séoul, directeur du Laboratoire Jacques-Louis Lions à Paris, s'intéresse à la modélisation de phénomènes biologiques. Il doit faire un exposé sur des équations qui permettent de décrire la croissance des tumeurs cancéreuses. Jean-Michel Morel, professeur à l'ENS de Cachan, doit discourir sur les mathématiques appliquées au traitement d'images, en particulier pour minimiser le “bruit” sur une image numérisée. Éric Cancès, professeur à l'École des Ponts, va présenter des modèles mathématiques et numériques destinés à simuler des molécules.

Cependant, même si l'intitulé de ces recherches semble assez concret, elles font appel à de puissants et complexes outils mathématiques : les équations aux dérivées partielles. D'une manière générale, ces équations permettent de décrire des processus qui évoluent, des systèmes qui changent d'état. Elles sont à la base des recherches d'un large courant de mathématiciens qui s'inspirent de problèmes issus de la physique. Cédric Villani, directeur de l'Institut Henri-Poincaré, médaille Fields en 2010, ou Laure Saint-Raymond, professeure à l'École normale supérieure, sont représentatifs de ce courant.

Laure Saint-Raymond © DR Laure Saint-Raymond © DR
Invitée à Séoul, Laure Saint-Raymond y fera un exposé sur des questions mathématiques liées à l'hydrodynamique et à la théorie cinétique des gaz. Une partie de ses travaux porte sur les équations de Navier-Stokes, qui permettent de décrire l'écoulement d'un fluide ordinaire, par exemple la circulation d'un courant océanique ou les mouvements des masses d'air de l'atmosphère. Ces équations, formulées dans la première moitié du XIXe siècle, « s'invitent même à Hollywood, écrit dans un article historique Laure Saint-Raymond, afin, par exemple, de simuler le tourbillon où s'enfonce le Titanic lors de son naufrage ».

Il existe des programmes informatiques qui permettent de calculer des solutions approchées des équations de Navier-Stokes. Pour le physicien, elles fournissent un outil permettant de décrire un phénomène. Mais pour le mathématicien, ces solutions soulèvent une série de problèmes. Jusqu'ici, on n'a pas réussi à prouver qu'il existe dans tous les cas une solution aux équations de Navier-Stokes déterminée par les conditions initiales du système. Lorsqu'un programme calcule une solution approchée, on ne sait pas si le résultat est fidèle à la réalité. Pour clarifier la situation, il faut étudier de manière approfondie les caractéristiques mathématiques de ces équations.

Le type de système physique que sont censées représenter les équations de Navier-Stokes est relativement familier – ce peut être l'eau qui s'écoule dans un tuyau, ou un tourbillon océanique. Mais l'outil mathématique, lui, est d'une grande technicité. Cela tient, entre autres raisons, à la structure de ces équations, qui permettent de relier deux niveaux de description : celui d'un fluide considéré comme un milieu continu et celui des particules qui composent le fluide.

Il existe une relation entre les équations de Navier-Stokes et l'équation de Boltzmann, qui décrit les mouvements des particules dans un gaz. Cédric Villani (médaille Fields 2010) a consacré récemment un passionnant billet de blog aux liens entre l'équation de Boltzmann, l'un de ses sujets de prédilection, et l'irréversibilité du temps. Avant Cédric Villani, son directeur de thèse, Pierre-Louis Lions (médaille Fields 1994) a travaillé sur l'équation de Boltzmann et celle de Navier-Stokes.

Dans le prolongement de ces travaux, Laure Saint-Raymond a démontré que les solutions de l'équation de Boltzmann tendent dans certains cas vers celles de l'équation de Navier-Stokes.

La conjecture de Goldbach résiste depuis 270 ans

Ce champ de recherches très actif apparaît comme un approfondissement mathématique des travaux de Boltzmann en physique statistique, dans le dernier tiers du XIXe siècle.

Physicien autrichien, Ludwig Boltzmann a défendu avant l'heure une vision atomiste ; il considère qu'un fluide, et la matière en général, est faite d'un ensemble de particules indivisibles qui déterminent ses propriétés mécaniques. Mais il ne disposait pas alors de tous les outils pour aller au bout de ses idées, qu'Einstein reprendra en les prolongeant, du point de vue physique, au début du XXe siècle.

En 1900, David Hilbert, grand mathématicien allemand, dresse une liste de vingt-trois problèmes importants et non résolus, à l'occasion du deuxième congrès international des mathématiciens organisé à Paris. L'objet du sixième problème de Hilbert est de savoir dans quelle mesure les théories de la physique peuvent prendre la forme axiomatisée d'une théorie mathématique.

Ludwig Boltzmann © DR Ludwig Boltzmann © DR
En particulier, Hilbert invite les mathématiciens à approfondir la compréhension de la dynamique des gaz. Hilbert écrit : « Les travaux de Boltzmann sur les principes de la mécanique suggèrent le problème de développer mathématiquement les processus… qui mènent de la vision atomiste aux lois du mouvement du continu. » Les recherches de Laure Saint-Raymond décrites ci-dessus se situent précisément dans cette perspective.

L'enchevêtrement de liens historiques et les va-et-vient avec la physique montrent pourquoi l'ésotérisme apparent des mathématiques ne résulte pas d'une quelconque malice des mathématiciens. Il est la conséquence d'une extraordinaire accumulation de connaissances qui se poursuit depuis des siècles, voire depuis des millénaires dans certains domaines comme la théorie des nombres.

Plus encore qu'en physique ou en chimie, les recherches mathématiques reprennent et approfondissent des thèmes antérieurs. Euclide, dans la Grèce antique, étudiait déjà les propriétés des nombres premiers, ceux qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et par l'unité, comme 3, 5, 7 ou 11 (mais pas 9, divisible par 3). Les mathématiciens d'aujourd'hui continuent de les explorer. Dans l'intervalle, les choses se sont énormément compliquées. La démonstration par Euclide de l'infinité de la suite des nombres premiers tient en une demi-page. Aujourd'hui, lorsqu'un spécialiste de théorie des nombres prouve un théorème important, la démonstration peut prendre des centaines de pages et demander des mois, voire des années de vérification par les spécialistes.

C'est le cas des travaux de Harald Helfgott, un mathématicien péruvien né en 1977 et qui travaille en France, au département de mathématiques de l'École normale supérieure. Ses recherches relèvent des mathématiques les plus pures, et ne se relient pas à des questions de physique comme celles de Laure Saint-Raymond ou de Cédric Villani. Harald Helfgott doit faire au Congrès de Séoul un exposé très attendu sur la conjecture de Goldbach, qui constitue une énigme depuis 270 ans. Une conjecture est une proposition que l'on suppose vraie, mais que l'on n'a pas réussi à démontrer. Celle qui nous intéresse a été émise en 1742 par Christian Goldbach, mathématicien allemand, dans une lettre adressée à son collègue suisse Leonhard Euler. Elle énonce que tout nombre pair plus grand que 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, et ainsi de suite.

Harald Helfgott © Exceptg Harald Helfgott © Exceptg
Il n'est pas possible de tester un par un tous les nombres pairs pour vérifier qu'ils satisfont la conjecture de Goldbach, car cela prendrait un temps infini et plus personne ne serait là pour énoncer le résultat. En effet, la suite des nombres pairs est infinie, et l'on sait aussi depuis Euclide qu'il y a une infinité de nombres premiers.

Il faut donc trouver une démonstration qui s'applique à tous les nombres pairs, sans avoir besoin de les énumérer un par un, mais en se servant de propriétés générales. Jusqu'ici, on a réussi à prouver que la conjecture est vraie pour la plupart des entiers pairs, mais non pour leur totalité. En 2013, Harald Helfgott a réussi à démontrer une version « faible » de la conjecture de Goldbach. Il a établi que tout nombre impair plus grand que 5 est la somme de trois nombres premiers (par exemple 15 = 7 + 5 + 3). Ce résultat ne suffit pas à prouver la conjecture de Goldbach sous sa forme initiale. À l'inverse, si la conjecture « forte » était établie, la version « faible » en serait une conséquence (en effet, tout nombre impair plus grand que 5 peut s'écrire comme un nombre pair plus 3 ; de sorte que si tous les pairs sont la somme de deux nombres premiers, tous les impairs plus grands que 5 sont la somme de deux premiers plus 3, donc de trois premiers).

Harald Helfgott a ainsi démontré une partie de la conjecture vieille de 270 ans. Avant lui, Terence Tao, mathématicien australien d'origine chinoise (médaille Fields en 2006), a prouvé en 2012 que tout nombre impair pouvait s'écrire comme la somme de 5 nombres premiers au plus. Ce résultat équivaut à une partie de celui de Helfgott, lequel était encore en cours de vérification par les autres mathématiciens au début de 2014. À Séoul, Helfgott présentera l'état le plus récent de la question. Certains estiment que son résultat mériterait la médaille Fields. Mais même si le mathématicien péruvien est couronné en août, la conjecture de Goldbach « forte » résiste toujours aux efforts des meilleurs spécialistes. Pourtant, elle peut être formulée en termes compréhensibles par un collégien.

Même les maths les plus pures peuvent se révéler utiles

Bien sûr, ce n'est pas le cas de la démonstration de Helfgott, qui utilise des instruments mathématiques très sophistiqués, inventés au cours du développement de la théorie des nombres. La conjecture de Goldbach est liée aux propriétés des nombres premiers, auxquelles beaucoup de grands mathématiciens se sont intéressés. Ils ont cherché à savoir comment les nombres premiers se répartissaient dans la suite infinie des entiers, ou s'il existait une règle permettant, à partir d'un nombre premier donné, de déterminer le suivant. Ces problèmes simples à formuler ne sont toujours pas résolus. On peut dresser la liste des nombres premiers jusqu'à une certaine valeur, et décrire leurs propriétés, mais cela ne répondra pas à la question pour tous les nombres premiers. Or le mathématicien cherche une solution rigoureuse, vraie dans tous les cas, et non, comme le physicien, une solution approchée, valable à une certaine marge d'erreur près.

Graphique représentant les solutions à la conjecture de Goldbach pour les petits nombres © Adam Cunningham et John Ringland Graphique représentant les solutions à la conjecture de Goldbach pour les petits nombres © Adam Cunningham et John Ringland

Lorsque cette solution n'est pas obtenue avec les notions existantes, les mathématiciens inventent de nouveaux concepts (l'une de leurs principales revues s'appelle fort à propos Inventiones mathématicae – soit « inventions mathématiques » en latin). Un nombre considérable de nouvelles notions a été inventé en liaison avec les nombres premiers, formant la base de ce que l'on appelle la théorie algébrique des nombres.

Cette dimension d'invention résulte de ce que les mathématiciens cherchent à formuler des énoncés vrais dans tous les cas imaginables. Par exemple, l'espace ordinaire où nous évoluons a trois dimensions. En physique, on peut en introduire une quatrième pour représenter le temps. Et même davantage dans certaines théories cosmologiques. On peut étudier les propriétés de ces différents espaces de dimension finie. Mais pour le mathématicien, il n'y a aucune raison de se limiter à 10, 100 ou 100 000 dimensions. Pourquoi ne pas imaginer un espace possédant un nombre infini de dimensions ? En fait, Hilbert a inventé ce concept au début du XXe siècle. Les espaces de Hilbert sont devenus des outils utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles (le domaine de Cédric Villani et de Laure Saint-Raymond) et servent aussi en physique quantique ou dans le traitement du signal.

Il arrive souvent que des concepts mathématiques trouvent des applications inattendues, dans des contextes très différents de ceux où ils ont été inventés. En 1829, Évariste Galois, âgé d'à peine dix-huit ans, s'intéresse aux équations algébriques. Il cherche à savoir s'il existe toujours un procédé pour calculer les solutions d'une équation en combinant des opérations simples sur les coefficients. En fait, plusieurs mathématiciens ont remarqué avant Évariste Galois que si l'équation est de degré supérieur à 4, on n'arrive pas à trouver de formule qui permette de la résoudre de cette manière. Évariste Galois montre pourquoi les équations de degré 5 et au-delà ne sont pas solubles par la méthode traditionnelle. À partir de ce problème, il fonde la théorie des groupes, l'un des piliers de l'algèbre moderne. La théorie des groupes permet de décrire des symétries, au sens large. Elle est aujourd'hui systématiquement utilisée en physique des particules et en physique théorique.


Equations de Navier-Stokes © DR Equations de Navier-Stokes © DR

La théorie de Galois, élaborée à partir des travaux du jeune mathématicien français, continue de connaître de nouveaux développements du point de vue strictement mathématique, qui feront l'objet d'exposés au Congrès de Séoul. Les résultats récents de cette théorie relèvent des mathématiques pures, mais il se peut qu'ils trouvent un jour de nouvelles applications.

En 1940, le Britannique Godfrey Harold Hardy, grand spécialiste des nombres premiers, se flattait de n'avoir « jamais rien fait d'utile ». Il écrivait dans son Apologie d'un mathématicien : « Aucune de mes découvertes n'a directement ou indirectement, en bien ou en mal, modifié d'un iota la beauté du monde. » Hardy poursuivait un idéal de mathématiques pures, détachées de toute finalité pratique, en partie parce qu'il détestait la guerre et les usages militaires des sciences. Il défendait une esthétique des mathématiques vues presque comme un art. Mais il se trompait : son domaine a trouvé d'importantes applications concrètes en cryptologie. On se sert des nombres premiers et de leurs propriétés pour chiffrer des messages, en particulier pour sécuriser les communications sur Internet. L'un des procédés de cryptage le plus utilisés dans le commerce électronique et les échanges de données confidentielles, le système RSA, est basé sur les nombres premiers.

On pourrait en conclure que les mathématiques pures sont moins désincarnées qu'il n'y paraît. En réalité, c'est le contraire : précisément parce qu'elles sont rigoureuses, abstraites et détachées de contingences particulières, les notions mathématiques peuvent être transposées d'un domaine à un autre.

Des concepts dérivés des probabilités ont été récupérés pour développer les mathématiques financières qui ont permis, entre autres, aux analystes de la City de créer les outils complexes tant décriés lors de la crise des subprimes de 2008. Les mêmes objets mathématiques peuvent servir à décrire des files d'attente, ou la transmission des communications sur des réseaux. Et ils peuvent servir à créer de nouveaux objets mathématiques.

La puissance des mathématiques est liée à leur caractère ésotérique, et l'abstraction est le prix de l'efficacité. En s'affranchissant du concret et des limites de l'habitude, les concepts mathématiques peuvent être transposés dans d'autres sciences et contribuer à renouveler les cadres de pensée.

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