Un Brésilien naturalisé français qui vit entre Rio et Paris, Artur Avila ; un Américano-Canadien d’origine indienne professeur dans le New Jersey, Manjul Bhargava ; un Autrichien formé à Genève et enseignant à l’université anglaise de Warwick, Martin Hairer ; et une Iranienne établie en Californie, Maryam Mirzakhani : les lauréats de la médaille Fields 2014, la plus haute récompense en mathématiques, décernée tous les quatre ans, illustrent la dimension internationale et cosmopolite de leur discipline. Leur choix confirme la prépondérance des universités américaines, où enseignent deux des quatre primés, et la vitalité des mathématiques françaises, avec la médaille d’Avila, chercheur au CNRS.
Mais l’événement de la cuvée 2014 est la désignation de Maryam Mirzakhani. C’est la première fois, en soixante-dix-huit ans d’existence, que la médaille Fields est attribuée à une femme. L’annonce des lauréats devait être faite pendant la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens, le 13 août à Séoul. En fait, la page web du communiqué de presse a fuité dans la soirée du 12 août, et le nom de Mirzakhani a commencé à circuler sur Internet.
Née en 1977 à Téhéran, Maryam Mirzakhani y a fait ses études secondaires dans un lycée pour jeunes filles surdouées, le lycée Farzanegan. À 18 ans, en 1995, elle a gagné les Olympiades internationales de mathématiques à Toronto, établissant un score parfait. Elle a obtenu un diplôme à l’université Sharif à Téhéran, puis a fait son doctorat à Harvard en 2004, sous la direction de Curtis McMullen, lui-même lauréat de la médaille Fields. Elle a ensuite été assistante à l’université de Princeton (New Jersey), avant de devenir professeur à l’université Stanford (Californie) en 2008, âgée de 31 ans.
Les travaux de Maryam Mirzakhani pulvérisent le cliché selon lequel les femmes auraient une moins bonne vision dans l’espace que les hommes. Elle possède en effet une puissante intuition géométrique qui lui a permis d’analyser les propriétés des « surfaces hyperboliques » qui peuvent se déformer et reproduire des formes complexes – par exemple celle d’un bagel ou d’une bouée. Mirzakhani a mis au point une méthode qui permet de calculer des longueurs sur une surface en élaborant une série de boucles. Elle a aussi étudié des espaces particuliers, dits « espaces de modules », très difficiles à appréhender. Bien que relevant de mathématiques très abstraites, ses travaux ont des applications en physique fondamentale.
Artur Avila, né à Rio de Janeiro en 1979, a passé son doctorat dans cette ville en 2001, avant de devenir chercheur au CNRS en 2003. Il est aussi attaché à l’Institut de mathématiques de Jussieu. Il partage sa vie entre le Brésil et la France, et combine les fortes traditions mathématiques des deux pays.
Il a travaillé sur les systèmes dynamiques, autrement dit des systèmes qui changent d’état. Un de ses résultats porte sur le « mélange faible », que l’on peut comparer au battage d’un jeu de cartes. Si l’on bat un jeu de cartes en se contentant de prendre quelques cartes sur le dessus et de les placer en dessous, le jeu ne sera pas vraiment mélangé. Les cartes sont seulement déplacées selon un schéma cyclique. Pour vraiment battre les cartes, il faut les déplacer individuellement dans le paquet, de sorte que, par exemple, celle qui était au-dessus aille à la troisième place, la deuxième à la sixième place, et ainsi de suite. L’idée du mélange faible d’Avila est fondamentalement analogue au battage des cartes, sauf qu’au lieu de cartes, il mélange les parties d’un intervalle (par exemple un segment de droite) découpé en sous-intervalles.
Certains travaux d’Avila ont des utilisations pour la physique quantique. Il a ainsi étudié les propriétés du « papillon de Hofstadter », qui représente l’énergie d’un électron évoluant dans un champ magnétique extrême.
Manjul Bhargava, né en 1974 au Canada, a grandi à Long Island et il est professeur à Princeton depuis 2003. Fils d’immigrants de la région de Jaipur en Inde, il possède les nationalités canadienne et américaine. Fin connaisseur de la musique traditionnelle indienne, Bhargava est un joueur expert de tabla. C’est aussi l’un des plus grands spécialistes actuels de la théorie des nombres. Ses travaux reprennent, en les approfondissant, ceux du grand mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Encore étudiant, Bhargava a lu en détail le plus célèbre ouvrage de Gauss, les Disquisitiones.
Les recherches de Gauss conduisent à la géométrie des nombres, qui a contribué, entre autres, à résoudre une énigme séculaire, le grand théorème de Fermat, énoncé sous forme de conjecture par le mathématicien français Pierre de Fermat en 1637. Ce théorème a été démontré seulement en 1995 par Andrew Wiles, le directeur de thèse de Bhargava. Ce dernier a développé les recherches sur les propriétés fondamentales des nombres, en liaison avec certaines courbes géométriques. Certains de ses résultats portent sur la question de savoir comment un nombre entier peut être représenté sous forme de plusieurs carrés. Au XIXe siècle, Joseph-Louis Lagrange a montré que tout nombre entier peut s’écrire comme la somme de quatre carrés. Bhargava a trouvé un procédé pour définir toutes les manières dont les entiers peuvent s’écrire comme des sommes de carrés.
Martin Hairer, né en 1975 en Autriche, a passé un doctorat en physique à l’université de Genève et il est professeur à l’université de Warwick, en Angleterre. Ses recherches portent sur les probabilités et les équations différentielles. Ces dernières ont été inventées au départ pour décrire le mouvement des planètes. Par exemple, les lois de Newton permettent de formuler une équation différentielle qui indiquera la position de la Terre à tout instant. Une telle équation est déterministe, elle donne une position exacte à un temps donné. Hairer, lui, a étudié des équations « stochastiques », dans lesquelles intervient une part de hasard. Par exemple, on peut formuler une équation pour décrire l’évolution du cours d’une action à la Bourse. Une telle équation inclut un terme qui représente les fluctuations du marché. Une équation qui prédirait exactement ces fluctuations permettrait de devenir très riche. Malheureusement, elles sont essentiellement imprévisibles et aléatoires, et les équations qui les représentent, celles qu’a étudiées Hairer, sont donc stochastiques, probabilistes.
Même si ces recherches n’ont pas permis à Hairer de faire fortune, elles ont ouvert tout un nouveau champ des mathématiques probabilistes. Elles portent notamment sur une équation qui a des applications en physique, et qui décrit l’évolution de l’interface entre deux substances. Elle permet, par exemple, de décrire le comportement des gouttes d’un cristal liquide utilisé pour fabriquer un écran. Hairer est par ailleurs un excellent programmeur d’ordinateur et a développé des logiciels pour l’édition sonore.
